1996 · 数学三 · 第 12 题 · 解答题

设

f (x, y) = \int_{0}^{x y} e^{- t^{2}} d t

，求

\frac{x}{y} \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} - 2 \frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} + \frac{y}{x} \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}

。

答案

$- 2 e^{- x^{2} y^{2}}$

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令 $u = x y$ ， $h (u) = e^{- u^{2}}$ 。由变上限积分求导公式，

f_{x} = y h (u), f_{y} = x h (u) .

继续求导：

f_{xx} = y^{2} h^{'} (u), f_{y y} = x^{2} h^{'} (u), f_{x y} = h (u) + u h^{'} (u) .

在题给式子有定义的 $x y \neq = 0$ 处，

\frac{x}{y} f_{xx} - 2 f_{x y} + \frac{y}{x} f_{y y} = u h^{'} (u) - 2 (h (u) + u h^{'} (u)) + u h^{'} (u) = - 2 h (u) = - 2 e^{- x^{2} y^{2}} .