2006 · 数学一 · 第 16 题 · 解答题

设数列

{x_{n}}

满足

0 < x_{1} < π, x_{n + 1} = sin x_{n} (n = 1, 2, \dots)

。

(1) 证明 $n \to \infty lim x_{n}$ 存在，并求该极限；
(2) 计算 $n \to \infty lim (\frac{x _{n + 1}}{x _{n}})^{\frac{1}{x _{n}^{2}}}$ 。

答案

第 1 问

$n \to \infty lim x_{n} = 0$

第 2 问

$e^{- \frac{1}{6}}$

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第 1 问

由 $0 < x_{1} < π$ ，有 $x_{2} = sin x_{1} > 0$ 且 $x_{2} \leq 1$ 。以后各项仍为正；对任意 $x > 0$ ，都有 $sin x < x$ ，所以从 $n \geq 2$ 起 $0 < x_{n + 1} < x_{n}$ 。

数列从第二项起单调递减且有下界 $0$ ，故存在极限，设为 $l \geq 0$ 。由连续性， $l = sin l$ ；而正数满足 $sin l < l$ ，故只能是

n \to \infty lim x_{n} = l = 0.

第 2 问

由上一问 $x_{n} \to 0$ ，令 $L_{n} = (\frac{x _{n + 1}}{x _{n}})^{\frac{1}{x _{n}^{2}}}$ 。则

ln L_{n} = \frac{ln ( \frac{sin x _{n}}{x _{n}} )}{x _{n}^{2}} .

当 $t \to 0$ 时， $\frac{sin t}{t} = 1 - \frac{t ^{2}}{6} + O (t^{4})$ ，故 $\frac{ln ( \frac{sin t}{t} )}{t ^{2}} \to - \frac{1}{6}$ 。于是 $ln L_{n} \to - \frac{1}{6}$ ，从而

n \to \infty lim L_{n} = e^{- \frac{1}{6}} .