（1）高阶条件是 $p(x)-\tan x=o(x^3)$。由 $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$，可得

要让这个多项式部分是 $o(x^3)$，从常数项到三次项必须依次为零，所以 $a=0,b=1,c=0,d=\frac{1}{3}$。
（2）A、B、C 都正确，D 的 $d=\frac{1}{6}$ 错误，题目要求选错误项，故选 D。若用 $d=\frac{1}{6}$，则 $\frac{[p(x)-\tan x]}{x^3}\to \frac{1}{6}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}\ne 0$，只能同阶，不能高阶。
（3）正切的三阶展开也可由已知展开相除得到：

或者用 $g=\tan x$ 的 $g(0)=0,g^{\prime }(0)=1,g^{\prime \prime }(0)=0,g^{\prime \prime \prime }(0)=2$，三次系数为 $\frac{g^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}=\frac{1}{3}$。