1997 · 数学三 · 第 13 题 · 解答题

假设某种商品的需求量

Q

是单价

p

（单位：元）的函数：

Q = 12000 - 80 p

；商品的总成本

C

是需求量

Q

的函数：

C = 25000 + 50 Q

；每单位商品需要纳税

2

元。

答案

101 元

167080 元

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需求量非负给出可行范围 $0 \leq p \leq 150$ 。总收入为 $pQ$ ，总成本与税款之和为 $25000 + 52 Q$ ，故利润

L (p) = (p - 52) (12000 - 80 p) - 25000 = - 80 p^{2} + 16160 p - 649000.

该二次函数开口向下，顶点为 $p = \frac{16160}{( 2 \times 80 )} = 101$ ，且在可行范围内，所以最优单价为 $101$ 元。

沿用第一问的利润函数 $L$ 和最优价格 $p = 101$ 。当 $p = 101$ 时， $Q = 12000 - 80 \times 101 = 3920$ 。

最大利润为

L (101) = (101 - 52) \times 3920 - 25000 = 167080 元 .