区域条件化为 $r^2\le r\cos \theta$，故 $-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$，$0\le r\le \cos \theta$。区域内 $x=r\cos \theta \ge 0$。

于是，

由于 ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^3\theta \mathrm{d}\theta =\frac{4}{3}$，原积分等于 $\frac{8}{15}$。