原区域为 $0\le y\le 1$，$\sqrt{y}\le x\le 1$。由于 $x\ge 0$，条件 $x\ge \sqrt{y}$ 等价于 $y\le x^2$，故换序后为 $0\le x\le 1$，$0\le y\le x^2$。
被积函数在该有界闭区域上连续，交换次序得

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{x^2}\sqrt{x^3+1}\mathrm{d}y\\ & ={\int }_0^1{x}^2\sqrt{x^3+1}\mathrm{d}x.\end{array}$$

内层积出区间长度 $x^2$，恰可配成 $\mathrm{d}(x^3+1)=3x^2\mathrm{d}x$。令 $u=x^3+1$，上下限由 $0,1$ 变为 $1,2$，于是

$$I=\frac{1}{3}{\int }_1^2{u}^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}u=\frac{2}{9}[u^{\frac{3}{2}}{]}_1^2=\frac{2}{9}(2\sqrt{2}-1).$$