2004 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

设某商品的需求函数为

Q = 100 - 5 P

，其中价格

P \in (0, 20)

，

Q

为需求量。

(1) 求需求量对价格的弹性 $E_{d}$ （ $E_{d} > 0$ ）；
(2) 推导 $\frac{d R}{d P} = Q (1 - E_{d})$ （其中 $R$ 为收益），并用弹性 $E_{d}$ 说明价格在何范围内变化时，降低价格反而使收益增加。

答案

$E_{d} = \frac{P}{20 - P}, 0 < P < 20$

$\frac{d R}{d P} = Q (1 - E_{d})$ ；价格在 $10 < P < 20$ 内降低时， $E_{d} > 1$ ，收益增加。

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按题设取正的需求价格弹性 $E_{d} = - \frac{P}{Q} \frac{d Q}{d P}$ 。由 $Q = 100 - 5 P = 5 (20 - P)$ 、 $\frac{d Q}{d P} = - 5$ ，得 $E_{d} = \frac{P}{20 - P}$ 。

收益为 $R = P Q$ ，所以

\frac{d R}{d P} = Q + P \frac{d Q}{d P} = Q (1 + \frac{P}{Q} \frac{d Q}{d P}) = Q (1 - E_{d}) .

在 $0 < P < 20$ 上有 $Q > 0$ ，所以 $E_{d} > 1$ 时收益随价格严格递减。由 $E_{d} = \frac{P}{( 20 - P )}$ ，这一条件等价于 $10 < P < 20$ 。因此价格在该区间内降低会使收益增加。

当 $0 < P < 10$ 时， $E_{d} < 1$ ，降低价格反而使收益减少；在 $P = 10$ 处 $E_{d} = 1$ ，收益取得最大值。上述降价增收结论不是指从任意高价跨过 $10$ 后无限降价仍必然增收。