2003 · 数学二 · 第 4 题 · 填空题

设曲线的极坐标方程为

ρ = e^{a θ} (a > 0)

，则该曲线上相应于

θ

从

0

变到

2 π

的一段弧与极轴所围成图形的面积为。

答案

$\frac{e ^{4 π a} - 1}{4 a}$

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给定 $a > 0$ ，弧段对应 $0 \leq θ \leq 2 π$ ，且 $ρ = e^{a θ}$ 。

弧段与极轴围成的面积为

S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} ρ^{2} d θ = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} e^{2 a θ} d θ .

计算得 $S = \frac{e ^{4 π a} - 1}{4 a}$ 。