$f_X(t)=f_Y(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{t^2}{2}},t\in \mathbb{R}$

$\rho =0$

不独立。

两个二维正态分量的两个边缘分布均为 $N(0,1)$。混合密度的边缘密度等于各分量边缘密度的同权混合，因此仍为标准正态密度。

故 $f_X(t)=f_Y(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{t^2}{2}}$，$t\in \mathbb{R}$。

各分量中两个变量的均值均为 $0$、标准差均为 $1$，故两个分量的 $E(XY)$ 分别为 $\frac{1}{3}$ 与 $-\frac{1}{3}$。

混合后 $E(XY)=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{3})=0$。由第一问的边缘分布， $E(X)=E(Y)=0$，$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(Y)=1$，所以 $\rho =0$。

相关系数为 $\pm \frac{1}{3}$ 的两个标准二维正态密度混合后，有 $f(x,y)=\frac{3}{4\pi \sqrt{2}}{e}^{-\frac{9(x^2+y^2)}{16}}\cosh (\frac{3xy}{8})$。

若 $X,Y$ 独立，则联合密度应等于第一问的边缘密度乘积 $f_X(x)f_Y(y)=\frac{1}{2\pi }{e}^{-\frac{(x^2+y^2)}{2}}$。但在 $(0,0)$ 处，前者为 $\frac{3}{(4\pi \sqrt{2})}$，后者为 $\frac{1}{(2\pi )}$，二者不相等。两密度均连续，故不可能几乎处处相等，因此 $X,Y$ 不独立。