2002 · 数学二 · 第 12 题 · 解答题

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 x + \frac{3}{2} x^{2}, \frac{x e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}}, - 1 \leq x < 0 0 \leq x \leq 1

，求函数

F (x) = \int_{- 1}^{x} f (t) d t

的表达式。

答案

$F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{x e ^{x}}{e ^{x} + 1} - ln (e^{x} + 1) + ln 2, - 1 \leq x < 0 0 \leq x \leq 1$

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当 $- 1 \leq x < 0$ 时，

F (x) = \int_{- 1}^{x} (2 t + \frac{3}{2} t^{2}) d t = x^{2} + \frac{x ^{3}}{2} - \frac{1}{2} .

当 $0 \leq x \leq 1$ 时，先得 $\int_{- 1}^{0} f (t) d t = - \frac{1}{2}$ 。又因为

\frac{t e ^{t}}{( e ^{t} + 1 ) ^{2}} = \frac{d}{d t} (\frac{t e ^{t}}{e ^{t} + 1} - ln (e^{t} + 1)),

所以 $F (x) = - \frac{1}{2} + \frac{x e ^{x}}{e ^{x} + 1} - ln (e^{x} + 1) + ln 2$ 。