2018 · 数学一 · 第 17 题 · 解答题

曲面为椭球 $x^{2} + 3 y^{2} + 3 z^{2} = 1$ 的 $x \geq 0$ 部分，取前侧，即该半椭球体的外侧。补上圆盘 $Σ_{0} : x = 0, y^{2} + z^{2} \leq \frac{1}{3}$ ，取后侧，法向为 $(- 1, 0, 0)$ 。两片围成 $Ω : x^{2} + 3 y^{2} + 3 z^{2} \leq 1, x \geq 0$ ，且均取外侧。
向量场为 $F = (x, y^{3} + z, z^{3})$ ，在全空间光滑。补面上的通量为 $F \cdot (- 1, 0, 0) = - x = 0$ 。散度为 $1 + 3 y^{2} + 3 z^{2}$ ，故高斯公式给出

I = ∭_{Ω} (1 + 3 y^{2} + 3 z^{2}) d V .

作伸缩换元 $x = u_{1}, y = \frac{u _{2}}{3}, z = \frac{u _{3}}{3}$ ，雅可比的绝对值为 $\frac{1}{3}$ 。区域变成半单位球 $B_{+} : u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} \leq 1, u_{1} \geq 0$ ，所以

I = \frac{1}{3} ∭_{B_{+}} (1 + u_{2}^{2} + u_{3}^{2}) d u_{1} d u_{2} d u_{3} .

半球体积为 $\frac{2 π}{3}$ 。为计算平方项，先在完整单位球 $B$ 上利用轮换对称性：

∭_{B} u_{2}^{2} d u = ∭_{B} u_{3}^{2} d u = \frac{1}{3} ∭_{B} ρ^{2} d u = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} ρ^{2} \cdot 4 π ρ^{2} d ρ = \frac{4 π}{15} .

$u_{2}^{2} + u_{3}^{2}$ 在反射 $u_{1} \mapsto - u_{1}$ 下不变，因此半球上的积分为完整球的一半，即 $\frac{4 π}{15}$ 。于是

I = \frac{1}{3} (\frac{2 π}{3} + \frac{4 π}{15}) = \frac{14 π}{45} .

答案