（1）确定参数范围并取对数。$k=0$ 时 $\sin kx\equiv 0$，原表达式无意义，所以 $k\ne 0$。当 $x$ 充分接近 $0$ 时，$1\pm \tan x>0$；令 $y=[\frac{(1-\tan x)}{(1+\tan x)}{]}^{\frac{1}{\sin kx}}$，有

（2）计算对数极限。由 $\ln (1+u)=u+o(u)$，先展开再相减：

又 $\sin kx\sim kx$，因此 $\ln y\to -\frac{2}{k}$，从而 $y\to e^{-\frac{2}{k}}$。
（3）确定参数。题设极限为 $e$，指数函数严格递增，故 $-\frac{2}{k}=1$，解得 $k=-2$。该值非零且代回上述极限确为 $e$。

凑成重要极限的形式。$k\ne 0$，且

底数在充分小邻域内为正，又由 $\tan x\sim x$、$\sin kx\sim kx$，有

因此由幂指极限公式，原极限为 $e^{-\frac{2}{k}}$。令其等于 $e$，得 $k=-2$。