在被积函数有定义的区间内，

$$\frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}}=\frac{\sin x}{(\cos x{)}^{\frac{3}{2}}}.$$

令 $u=\cos x$，则 $\mathrm{d}u=-\sin x\mathrm{d}x$，所以

$$\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}}\mathrm{d}x=-\int u^{-\frac{3}{2}}\mathrm{d}u=2u^{-\frac{1}{2}}+C.$$

代回得到 $\frac{2}{\sqrt{\cos x}}+C$。