2021 · 数学一 · 第 10 题 · 选择题

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{16}

是来自总体

N (μ, 4)

的简单随机样本，考虑假设检验问题

H_{0} : μ \leq 10, H_{1} : μ > 10

，

Φ (x)

表示标准正态分布函数。若拒绝域为

W = {X \geq 11}

，其中

X = \frac{1}{16} i = 1 \sum 16 X_{i}

，则

μ = 11.5

时该检验犯第二类错误的概率为（　　）。

答案

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总体方差为 $4$ ，样本容量为 $16$ ，所以 $X \sim N (μ, \frac{4}{16})$ ，其标准差为 $\frac{1}{2}$ 。
当真实均值为 $11.5 > 10$ 时，原假设不成立；第二类错误是没有拒绝原假设，即发生拒绝域的补事件 ${X < 11}$ 。因此

β = P_{μ = 11.5} (X < 11) = Φ (\frac{11 - 11.5}{0.5}) = Φ (- 1) = 1 - Φ (1) .

所以选 B。计算必须使用真实参数 $μ = 11.5$ ，而非原假设边界 $μ = 10$ 。