对任意实数 $x$，有 $\sqrt{1+x^2}>|x|$，故 $x+\sqrt{1+x^2}>0$，对数在全体实数上有定义。令

利用

得到

由于该对数函数严格递增且在 $x=0$ 时等于 $0$，故 $f^{\prime }(x)<0$（$x<0$），$f^{\prime }(x)>0$（$x>0$）。因此 $f$ 在 $x=0$ 处取得全局最小值，而 $f(0)=0$。所以对一切实数 $x$，