（1）非齐次线性方程任意两解之差都是对应齐次方程的解，所以 $y_1-y_3={\mathrm{e}}^{3x}$、$y_2-y_3={\mathrm{e}}^x$ 都是齐次解。两者之比 ${\mathrm{e}}^{2x}$ 不是常数，故线性无关，构成二阶齐次方程的基本解组。再加上特解 $y_3$，得到通解

（2）求导得 $y^{\prime }=3C_1{\mathrm{e}}^{3x}+C_2{\mathrm{e}}^x-(1+2x){\mathrm{e}}^{2x}$。代入初值得

两式相减得 $2C_1=2$，故 $C_1=1,C_2=-1$，所求为 $y={\mathrm{e}}^{3x}-{\mathrm{e}}^x-x{\mathrm{e}}^{2x}$。
（3）核对：$y(0)=0$，$y^{\prime }(0)=3-1-1=1$。由特征根 $3,1$ 得齐次方程为 $y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+3y=0$，而 $y_3^{\prime }=-(1+2x){\mathrm{e}}^{2x}$、$y_3^{\prime \prime }=-(4+4x){\mathrm{e}}^{2x}$，故

因此原方程为 $y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+3y=x{\mathrm{e}}^{2x}$。所得函数是在特解上加两个齐次解，仍满足原方程。