1998 · 数学一 · 第 12 题 · 解答题

在右半平面

x > 0

上给定向量

A (x, y) = 2 x y (x^{4} + y^{2})^{λ} i - x^{2} (x^{4} + y^{2})^{λ} j

。完成下列各问：

(1) 确定常数 $λ$ ，使 $A (x, y)$ 为某二元函数 $u (x, y)$ 的梯度；
(2) 在上述条件下，求 $u (x, y)$ 。

答案

第 1 问

$λ = - 1$

第 2 问

$u (x, y) = - arctan \frac{y}{x ^{2}} + C$

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第 1 问

令 $S = x^{4} + y^{2}$ ， $P = 2 x y S^{λ}, Q = - x^{2} S^{λ}$ 。在右半平面上要成为梯度，必须且只需 $P_{y} = Q_{x}$ 。

计算得 $P_{y} = 2 x S^{λ - 1} [x^{4} + (1 + 2 λ) y^{2}]$ ， $Q_{x} = - 2 x S^{λ - 1} [(1 + 2 λ) x^{4} + y^{2}]$ 。令二者相等，因 $x > 0, S > 0$ ，得到 $2 (1 + λ) S = 0$ ，所以 $λ = - 1$ 。

第 2 问

由第一问取 $λ = - 1$ ， $u_{x} = \frac{2 x y}{x ^{4} + y ^{2}}$ ， $u_{y} = - \frac{x ^{2}}{x ^{4} + y ^{2}}$ 。

在 $x > 0$ 上直接验证

u (x, y) = - arctan \frac{y}{x ^{2}} + C

同时满足上述两个偏导。右半平面连通，故这给出全部势函数，仅差任意常数 $C$ 。