2008 · 数学一 · 第 3 题 · 选择题

在下列微分方程中，以

y = C_{1} e^{x} + C_{2} cos 2 x + C_{3} sin 2 x

（

C_{1}, C_{2}, C_{3}

为任意常数）为通解的是（　　）。

答案

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设特征根为 $r$ 。题给通解中的 $e^{x}$ 、 $cos 2 x$ 、 $sin 2 x$ 对应特征根 $1, 2 i, - 2 i$ ，所以特征多项式为 $(r - 1) (r^{2} + 4) = r^{3} - r^{2} + 4 r - 4$ 。

因此微分方程为 $y^{'''} - y^{''} + 4 y^{'} - 4 y = 0$ ，对应选项 D。