令 $F(x)=k\arctan x-x$，则 $F$ 为奇函数且 $F(0)=0$，非零根成正负对出现。求导得 $F^{\prime }(x)=\frac{k-1-x^2}{1+x^2}$，据此按 $k$ 分类。
（1）当 $k<1$ 时，$F^{\prime }(x)<0$，故 $F$ 在实轴严格递减，只有根 $x=0$。当 $k=1$ 时，$F^{\prime }(x)=-\frac{x^2}{1+x^2}\le 0$，仅在 $0$ 处为零；函数在两个半轴上均严格递减，结合 $F(0)=0$ 可知仍在实轴严格递减，也只有根 $0$。所以 $k\le 1$ 时恰有一个实根。
（2）当 $k>1$ 时，令 $\alpha =\sqrt{k-1}>0$。导数在 $(-\infty ,-\alpha )$ 上为负，在 $(-\alpha ,\alpha )$ 上为正，在 $(\alpha ,+\infty )$ 上为负。因此 $F$ 依次严格递减、递增、递减。由中间区间的递增性及 $F(0)=0$，有 $F(-\alpha )<0<F(\alpha )$。
因为 $k\arctan x$ 有界，$\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=+\infty$，$\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=-\infty$。结合连续性和各段严格单调性，$(-\infty ,-\alpha )$ 内恰有一根，$(-\alpha ,\alpha )$ 内只有根 $0$，$(\alpha ,+\infty )$ 内恰有一根。故 $k>1$ 时恰有三个不同实根。
综上，不同实根个数为：$k\le 1$ 时 $1$ 个，$k>1$ 时 $3$ 个。