2014 · 数学三 · 第 23 题 · 解答题

设随机变量

X, Y

的概率分布相同，

X

的概率分布为

P {X = 0} = \frac{1}{3}, P {X = 1} = \frac{2}{3}

，且

X, Y

的相关系数

ρ_{X Y} = \frac{1}{2}

。

答案

X \ Y 01 0 \frac{2}{9} \frac{1}{9} 1 \frac{1}{9} \frac{5}{9}

$\frac{4}{9}$

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$X, Y$ 都是参数 $\frac{2}{3}$ 的两点分布，因此 $E (X) = E (Y) = \frac{2}{3}$ ，且

Var (X) = Var (Y) = \frac{2}{3} - (\frac{2}{3})^{2} = \frac{2}{9} .

由相关系数为 $\frac{1}{2}$ ，得协方差 $Cov (X, Y) = (\frac{1}{2}) (\frac{2}{9}) = \frac{1}{9}$ ，于是

E (X Y) = Cov (X, Y) + E (X) E (Y) = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9} .

因为 $X Y$ 只取 $0, 1$ ，且 $X Y = 1$ 等价于 $X = Y = 1$ ，故 $P {X = 1, Y = 1} = \frac{5}{9}$ 。再用边缘分布补齐：

P {X = 1, Y = 0} P {X = 0, Y = 1} P {X = 0, Y = 0} = \frac{2}{3} - \frac{5}{9} = \frac{1}{9}, = \frac{2}{3} - \frac{5}{9} = \frac{1}{9}, = \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9} .

因此联合分布为

X \ Y 01 0 \frac{2}{9} \frac{1}{9} 1 \frac{1}{9} \frac{5}{9}

各概率非负、总和为 $1$ ，且行列和均符合题设。

$X + Y$ 只可能取 $0, 1, 2$ ，故事件 $X + Y \leq 1$ 的对立事件为 $X = Y = 1$ 。由第一问，

P {X + Y \leq 1} = 1 - P {X = 1, Y = 1} = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} .

也可将 $(0, 0), (0, 1), (1, 0)$ 三格概率相加，得到 $\frac{2}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$ 。