由 $\frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$，原极限中的表达式化为 $(1-a)x-(1+b)+\frac{1}{x+1}$。

要使其在 $x\to \infty$ 时趋于 $0$，必须有 $1-a=0$ 且 $1+b=0$，所以 $a=1,b=-1$，选 C。