设

整理为

两边左乘 $A$。由于 $A{\alpha }_i=0$ 而 $A\beta \ne 0$，必有 $c_0+\sum _i{c}_i=0$。原式随即化为 $\sum _i{c}_i{\alpha }_i=0$。

基础解系线性无关，故 $c_1=\cdots =c_t=0$，进而 $c_0=0$。所以所给向量组线性无关。