系数 $a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}$ 满足 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}=1$，故收敛半径为 $R=1$。

当 $x=1$ 时，级数为 $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，发散；当 $x=-1$ 时，级数为交错级数 $\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n+1}}$，收敛。因此收敛域为 $[-1,1)$。