1993 · 数学三 · 第 11 题 · 解答题

设

z = f (x, y)

是由方程

z - y - x + x e^{z - y - x} = 0

所确定的二元函数，求

d z

。

答案

$d z = d y + \frac{1 + ( x - 1 ) e ^{z - y - x}}{1 + x e ^{z - y - x}} d x$

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令 $u = z - y - x$ 。对方程 $u + x e^{u} = 0$ 两边取全微分，得到

(1 + x e^{u}) (d z - d y - d x) + e^{u} d x = 0.

在隐函数存在的点 $1 + x e^{u} \neq = 0$ 处整理可得

d z = d y + \frac{1 + ( x - 1 ) e ^{u}}{1 + x e ^{u}} d x .

代回 $u = z - y - x$ 即得结论。