1995 · 数学三 · 第 9 题 · 选择题

设矩阵

A_{m \times n}

的秩为

r (A) = m < n

，

E_{m}

为

m

阶单位矩阵，下述结论中正确的是（　　）。

A
矩阵 $A$ 的任意 $m$ 个列向量必线性无关
B
矩阵 $A$ 的任意一个 $m$ 阶子式不等于零
C
非齐次线性方程组 $A x = b$ 一定有无穷多组解
正确答案
D
矩阵 $A$ 通过初等行变换，必可以化为 $(E_{m}, 0)$ 的形式

答案

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因为 $r (A) = m$ ，矩阵 $A$ 的列空间为 $R^{m}$ ，所以对任意 $b \in R^{m}$ ，方程组 $A x = b$ 都有解。

又因未知数个数 $n > m$ ，齐次方程组的解空间维数为 $n - r (A) = n - m > 0$ 。因此一旦 $A x = b$ 有解，就有无穷多组解，故 C 正确。满行秩只保证至少存在一个非零的 $m$ 阶子式，并不保证任意 $m$ 列均无关；仅作初等行变换也不一定化为 $(E_{m}, 0)$ 。