齐次解 $(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^x$ 对应特征方程 $(r-1{)}^2=r^2+ar+b$，所以 $a=-2,b=1$。非齐次方程为 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=x$。

取特解 $y_p=x+2$，因为 $y_p^{\prime \prime }-2y_p^{\prime }+y_p=x$。故 $y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^x+x+2$。由 $y(0)=2$ 得 $C_1=0$；由 $y^{\prime }(0)=C_1+C_2+1=0$ 得 $C_2=-1$。所以 $y=x+2-x{\mathrm{e}}^x$。