当 $f(x)=x$ 时，方程为 $y^{\prime }+y=x$。乘积分因子 ${\mathrm{e}}^x$，得到 $({\mathrm{e}}^{x}y{)}^{\prime }=x{\mathrm{e}}^x$。分部积分得

因此通解为 $y=x-1+C{\mathrm{e}}^{-x}$，其中 $C$ 为任意常数。求导并相加，得到 $y^{\prime }+y=1-C{\mathrm{e}}^{-x}+x-1+C{\mathrm{e}}^{-x}=x$。

（1）写出全部解。设 $T>0$ 且 $f(x+T)=f(x)$。乘积分因子 ${\mathrm{e}}^x$，从 $0$ 到 $x$ 积分，得

因为 $f$ 在实轴上连续，该式对所有实数 $x$ 有定义，并给出方程全部解；每个初值 $C$ 恰好对应一个解。

（2）证明周期性等价于首尾值相等。必要性显然：若 $y$ 以 $T$ 为周期，则 $y(T)=y(0)$。反之，若某解满足该等式，令 $\phi (x)=y(x+T)$。由 $f$ 的周期性，${\phi }^{\prime }+\phi =f(x+T)=f(x)$，且 $\phi (0)=y(T)=y(0)$。由第一步的初值唯一性，$\phi (x)=y(x)$ 对全部实数 $x$ 成立，即 $y$ 以 $T$ 为周期。

（3）确定唯一初值。条件 $y_C(T)=y_C(0)$ 等价于

由于 $T>0$，有 ${\mathrm{e}}^T-1\ne 0$，所以唯一解为 $C=({\mathrm{e}}^T-1{)}^{-1}{\int }_0^T{\mathrm{e}}^{t}f(t)\mathrm{d}t$。将此值代入第一步，便得到唯一的 $T$ 周期解

这里以 $T$ 为周期不要求 $T$ 一定是最小正周期。