设利润为 $L(x,y)=PQ-6x-8y$，其中 $Q=12x^{\frac{1}{2}}{y}^{\frac{1}{6}}$，则

在 $x,y>0$ 时，$Q_x=\frac{Q}{(2x)}$，$Q_y=\frac{Q}{(6y)}$。由链式法则，驻点满足

故 $(1160-3Q)Q=12x=48y$，即 $x=4y$。代入生产函数得 $Q=24y^{\frac{2}{3}}$，从而 $y=(\frac{Q}{24}{)}^{\frac{3}{2}}$。再代入驻点方程，因 $Q>0$，得到

令 $t=\sqrt{Q}>0$，则 $3t^2+\frac{t}{\sqrt{6}}-1160=0$。左端在 $t>0$ 上严格递增，且 $t=8\sqrt{6}$ 是其零点，所以唯一解为 $Q=384$。于是 $y=64$，$x=256$。
还需证明这是全局最大，而不能仅凭驻点唯一作结论。将 $L$ 连续延拓到闭区域 $x,y\ge 0$，由于

当 $x+y\to +\infty$ 时，$L\le \frac{1160^2}{6}-6x-8y\to -\infty$，故 $L$ 必取得全局最大值。边界上 $Q=0$，利润 $L=-6x-8y\le 0$；而在 $(256,64)$ 处，$P=584$，利润为 $584\times 384-6\times 256-8\times 64=222208>0$。因此最大点必在内部，必须是上面求得的唯一驻点。
所以利润最大时的产量为 $Q=384$。