由导数定义，

当 $\lambda >1$ 时，商的绝对值不超过 $|x{|}^{\lambda -1}$，故 $f^{\prime }(0)=0$。当 $\lambda \le 1$ 时，沿正数列 $x_j=\frac{1}{(2j\pi )}$ 与 $u_j=\frac{1}{(2j\pi +\frac{\pi }{2})}$，差商分别为 $x_j^{\lambda -1}$ 与 $0$：在 $\lambda =1$ 时极限不同，在 $\lambda <1$ 时前者无界。因此零点可导当且仅当 $\lambda >1$。

对 $x\ne 0$ 求导，得到

其中 $\mathrm{sgn}(x)$ 表示 $x$ 的符号。当 $\lambda >1$ 时，第一项趋于零。若 $\lambda >2$，第二项也趋于零，故 $f^{\prime }(x)\to f^{\prime }(0)=0$。

若 $1<\lambda \le 2$，取 $x_j=\frac{1}{(2j\pi +\frac{\pi }{2})}$，则 $\cos (\frac{1}{x_j})=0$、$\sin (\frac{1}{x_j})=1$，所以 $f^{\prime }(x_j)=x_j^{\lambda -2}$。它在 $\lambda =2$ 时恒为 $1$，在 $1<\lambda <2$ 时无界，均不趋于 $f^{\prime }(0)=0$。因此所求范围为