（1）特征方程 $r^2-4r+8=0$ 的根为 $2\pm 2\mathrm{i}$，均为单根。将右端拆为 ${\mathrm{e}}^{2x}+{\mathrm{e}}^{2x}\cos 2x$，按叠加原理分别确定特解形式。
（2）对 ${\mathrm{e}}^{2x}$，实数 $2$ 不是特征根，因为 $2^2-4\cdot 2+8=4\ne 0$，所以设 $y_1^{\ast }=A{\mathrm{e}}^{2x}$。对 ${\mathrm{e}}^{2x}\cos 2x$，对应复数 $2+2\mathrm{i}$ 是单特征根，需乘一个 $x$，并同时保留正弦、余弦项，设 $y_2^{\ast }=x{\mathrm{e}}^{2x}(B\cos 2x+C\sin 2x)$。相加得

即选 C。
（3）验证系数可以确定。第一项代入方程左端得 $4A{\mathrm{e}}^{2x}$，故 $A=\frac{1}{4}$。令 $u={\mathrm{e}}^{2x}(B\cos 2x+C\sin 2x)$，它满足齐次方程。由乘积求导，第二项代入左端为

与 ${\mathrm{e}}^{2x}\cos 2x$ 比较得 $C=\frac{1}{4},B=0$，于是 $y^{\ast }=\frac{{\mathrm{e}}^{2x}}{4}+x{\mathrm{e}}^{2x}\frac{\sin 2x}{4}$ 确实是特解。
（4）A、B 的三角部分没有乘 $x$，本身是齐次解，不能产生右端三角项。D 的第一项 $Ax{\mathrm{e}}^{2x}$ 代入左端为 $4Ax{\mathrm{e}}^{2x}$，无法配出 ${\mathrm{e}}^{2x}$。故 C 是唯一正确形式。