令 $r=\sqrt{1+x^2}$。原函数的实定义域为 $x\ne 0$，且 $y=\ln (r-1)-\ln (r+1)$。

由 $r^{\prime }=\frac{x}{r}$，有 $y^{\prime }=\frac{x}{r}\left(\frac{1}{r-1}-\frac{1}{r+1}\right)=\frac{x}{r}\cdot \frac{2}{r^2-1}$。

因 $r^2-1=x^2$，故 $y^{\prime }=\frac{2}{x\sqrt{1+x^2}}$，其中 $x\ne 0$。