1989 · 数学一 · 第 8 题 · 选择题

设线性无关的函数

y_{1}

，

y_{2}

，

y_{3}

都是二阶非齐次线性方程

y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y = f (x)

的解，

C_{1}

，

C_{2}

是任意常数，则该非齐次方程的通解是（　　）。

A
$C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + y_{3}$
B
$C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - (C_{1} + C_{2}) y_{3}$
C
$C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - (1 - C_{1} - C_{2}) y_{3}$
D
$C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + (1 - C_{1} - C_{2}) y_{3}$
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答案

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因为 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 都是同一非齐次方程的解，所以 $y_{1} - y_{3}$ 与 $y_{2} - y_{3}$ 都是对应齐次方程的解。

若 $a (y_{1} - y_{3}) + b (y_{2} - y_{3}) = 0$ ，则 $a y_{1} + b y_{2} - (a + b) y_{3} = 0$ 。由 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 线性无关可得 $a = b = 0$ ，故这两个齐次解线性无关，构成二阶齐次方程的基本解组。

于是非齐次方程的通解为

C_{1} (y_{1} - y_{3}) + C_{2} (y_{2} - y_{3}) + y_{3} = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + (1 - C_{1} - C_{2}) y_{3},

故选 D。