1997 · 数学三 · 第 14 题 · 解答题

由曲线

y = x^{2} - 2 x, y = 0, x = 1, x = 3

围成一个平面图形。

答案

$S = 2$

$V = 9 π$

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曲线 $y = x^{2} - 2 x$ 在 $[1, 2]$ 上位于 $x$ 轴下方，在 $[2, 3]$ 上位于 $x$ 轴上方。因此

S = \int_{1}^{2} (2 x - x^{2}) d x + \int_{2}^{3} (x^{2} - 2 x) d x = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2.

绕 $y$ 轴旋转时，半径为 $x$ ，柱壳高度为 $∣ x^{2} - 2 x ∣$ 。故

V = 2 π [\int_{1}^{2} x (2 x - x^{2}) d x + \int_{2}^{3} x (x^{2} - 2 x) d x] .

两个积分分别为 $\frac{11}{12}$ 和 $\frac{43}{12}$ ，所以 $V = 2 π \times \frac{9}{2} = 9 π$ 。