曲线 $y=\ln x$ 与 $y=0$ 交于 $x=1$，直线 $y=\mathrm{e}+1-x$ 与 $y=0$ 交于 $x=\mathrm{e}+1$，所以横轴边界从 $x=1$ 延伸到 $x=\mathrm{e}+1$。

为确定曲线与直线的交点及上下关系，令 $h(x)=\ln x+x-(\mathrm{e}+1)$（$x>0$）。因为 $h^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+1>0$，且 $h(\mathrm{e})=0$，两者唯一交于 $(\mathrm{e},1)$。在 $1\le x<\mathrm{e}$ 时 $h(x)<0$，故 $\ln x<\mathrm{e}+1-x$；在 $\mathrm{e}<x\le \mathrm{e}+1$ 时 $h(x)>0$，故直线低于曲线。因此所围区域的上边界在 $[1,\mathrm{e}]$ 上是 $y=\ln x$，在 $[\mathrm{e},\mathrm{e}+1]$ 上是 $y=\mathrm{e}+1-x$。

于是面积为