定义域为 $x\ne 0$。由 $y^{\prime }=-\frac{(x+2)}{x^3}$，在 $(-\infty ,-2)$ 与 $(0,+\infty )$ 上有 $y^{\prime }<0$，故这些区间单调减少。

由 $y^{\prime }=-\frac{(x+2)}{x^3}$，在 $(-2,0)$ 上有 $y^{\prime }>0$，故该区间单调增加。

在 $x=-2$ 左侧 $y^{\prime }<0$、右侧 $y^{\prime }>0$，故 $x=-2$ 为极小值点的横坐标；$y(-2)=-\frac{1}{4}$，极值点为 $(-2,-\frac{1}{4})$。

由一阶导数在 $x=-2$ 处从负变正，函数取得极小值 $y(-2)=-\frac{1}{4}$。

有 $y^{\prime \prime }=\frac{2(x+3)}{x^4}$。当 $x>-3$ 且 $x\ne 0$ 时 $y^{\prime \prime }>0$，曲线呈题示 $\bigcup$ 形，故凹区间为 $(-3,0)\cup (0,+\infty )$。

当 $x<-3$ 时，$y^{\prime \prime }=\frac{2(x+3)}{x^4}<0$，曲线呈题示 $\bigcap$ 形，故凸区间为 $(-\infty ,-3)$。

由上述二阶导数及凹凸性结论，二阶导数在 $x=-3$ 两侧变号，且函数在该点连续；$y(-3)=-\frac{2}{9}$，故拐点为 $(-3,-\frac{2}{9})$。

当 $x\to 0$ 时，$\frac{(x+1)}{x^2}\to +\infty$，故 $x=0$ 是竖直渐近线。

当 $x\to \pm \infty$ 时，$\frac{(x+1)}{x^2}\to 0$，故 $y=0$ 是水平渐近线。