由方差的加法公式，

因此，$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$ 当且仅当 $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$。而 $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ 正是 $X$ 和 $Y$ 不相关的定义，所以该条件是 $X$ 和 $Y$ 不相关的充要条件，选择 C。

独立能推出协方差为零，因此题设等式是独立的必要条件，B项不成立。不相关也不必独立：例如 $X$ 在 $-1,0,1$ 上等概率取值，令 $Y=X^2$，则两者方差均非零，且 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(X^3)-E(X)E(X^2)=0$，但 $P(X=0,Y=0)=\frac{1}{3}\ne P(X=0)P(Y=0)=\frac{1}{9}$，故D项也不成立。A项否认必要性，与上述等价关系矛盾，所以只有C项正确。