2008 · 数学一 · 第 18 题 · 解答题

设

f (x)

是连续函数。

(1) 利用定义证明函数 $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ 可导，且 $F^{'} (x) = f (x)$ ；
(2) 当 $f (x)$ 是以 $2$ 为周期的周期函数时，证明函数 $G (x) = 2 \int_{0}^{x} f (t) d t - x \int_{0}^{2} f (t) d t$ 也是以 $2$ 为周期的周期函数。

答案

第 1 问

证明见解析

第 2 问

证明见解析

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第 1 问

对任意 $h \neq = 0$ ，由定积分的可加性， $\frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} - f (x) = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} [f (t) - f (x)] d t$ 。

当 $h \to 0$ 时，连续性保证积分区间内的 $f (t)$ 一致趋近于 $f (x)$ ，从而

\frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} [f (t) - f (x)] d t \leq t 在 x 与 x + h 之间 sup ∣ f (t) - f (x) ∣ \to 0.

所以 $h \to 0 lim \frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} = f (x)$ ，即 $F$ 在任意 $x$ 可导且 $F^{'} (x) = f (x)$ 。

第 2 问

记 $I (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ ，并利用 $f (t + 2) = f (t)$ 。则 $\int_{2}^{x + 2} f (t) d t = \int_{0}^{x} f (u + 2) d u = I (x)$ ，所以 $I (x + 2) = I (x) + I (2)$ 。

于是 $G (x + 2) = 2 [I (x) + I (2)] - (x + 2) I (2) = 2 I (x) - x I (2) = G (x)$ 。

故 $G$ 是以 $2$ 为周期的周期函数。