取 $f(x)=x^2-x+1$。若 $A\xi =\lambda \xi$、$\xi \ne 0$，则

所以对应特征值变为 $f(\lambda )$。分别代入 $2,-2,1$，得 $f(2)=3,f(-2)=7,f(1)=1$。
为说明这已包含全部特征值，注意 $A$ 有三个互不相同的特征值，故存在可逆矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP=\Lambda =\mathrm{diag}(2,-2,1)$。于是

相似矩阵行列式相等，因此 $|B|=3\cdot 7\cdot 1=21$。不能把 $|A^2-A+E|$ 按加减拆成 $|A{|}^2-|A|+1$；该错式在本题碰巧同值，并非有效方法。