2020 · 数学一 · 第 12 题 · 填空题

设函数

f (x, y) = \int_{0}^{x y} e^{x t^{2}} d t

，则

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} ∣_{(1, 1)} =

。

答案

$4 e$

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被积函数光滑，积分上下限也光滑，故 $f$ 具有连续二阶偏导数，可以交换混合偏导的求导次序。先对 $y$ 求导时，被积函数不含 $y$ ，只需对积分上限求导：

f_{y} (x, y) = x e^{x (x y)^{2}} = x e^{x^{3} y^{2}} .

再对 $x$ 求导，运用乘积法则与复合函数求导法则，得

f_{y x} (x, y) = e^{x^{3} y^{2}} (1 + 3 x^{3} y^{2}) .

代入 $(1, 1)$ ，所求为 $4 e$ 。

也可先对 $x$ 求导。此时积分上限和被积函数都含 $x$ ，两部分均需计入。由含参变限积分求导公式，

f_{x} (x, y) = y e^{x^{3} y^{2}} + \int_{0}^{x y} t^{2} e^{x t^{2}} d t .

该公式可用，是因为在给定点附近积分区间有界，被积函数及其参数偏导连续。再关于 $y$ 求导：

f_{x y} (x, y) = e^{x^{3} y^{2}} (1 + 2 x^{3} y^{2}) + x (x y)^{2} e^{x (x y)^{2}} = e^{x^{3} y^{2}} (1 + 3 x^{3} y^{2}) .

因此 $f_{x y} (1, 1) = 4 e$ 。