利用 $\frac{1}{n^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})$，记原和为 $S$，则

由 $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(k{2}^k)}=\ln 2$，第一项为 $\frac{1}{2}\ln 2$，第二项为 $2(\ln 2-\frac{1}{2}-\frac{1}{8})=2\ln 2-\frac{5}{4}$。

故 $S=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\ln 2-2\ln 2+\frac{5}{4})=\frac{5}{8}-\frac{3}{4}\ln 2$。