由 $AB\subseteq A$ 和 $AB\subseteq B$，概率单调性给出 $P(AB)\le P(A)$、$P(AB)\le P(B)$。两式相加，得

因此 $P(AB)\le \frac{[P(A)+P(B)]}{2}$ 恒成立，选 C。
其余选项可用反例排除。对 A，取 $B=A$ 且 $P(A)=\frac{1}{2}$，则 $P(AB)=\frac{1}{2}>P(A)P(B)=\frac{1}{4}$。对 B、D，掷一枚均匀硬币，取 $A$ 为正面、$B$ 为反面，则 $P(AB)=0$，而 $P(A)P(B)=\frac{1}{4}$、$\frac{[P(A)+P(B)]}{2}=\frac{1}{2}$，两种下界均不成立。
题设未给独立性，不能把 $P(AB)=P(A)P(B)$ 当作任意事件的公式。