分子在 $x\to 0$ 时总趋于 $0$。要使极限为非零有限数，分母也必须趋于 $0$，即 ${\int }_b^0\frac{\ln (1+t^3)}{t}\mathrm{d}t=0$。

在实数积分可定义的区间 $t>-1$ 上，$t\ne 0$ 时 $\frac{\ln (1+t^3)}{t}>0$，且该函数在 $0$ 处可连续补为 $0$。因此上述积分等于零只可能有 $b=0$。

当 $b=0$ 时，

为消去分子的一次项必须取 $a=1$。此时 $x-\sin x=\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，所以 $c=\frac{(\frac{1}{6})}{(\frac{1}{3})}=\frac{1}{2}$。