2019 · 数学一 · 第 8 题 · 选择题

设随机变量

X

与

Y

相互独立，且均服从正态分布

N (μ, σ^{2})

，则

P {∣ X - Y ∣ < 1}

（　　）。

答案

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令 $Z = X - Y$ 。独立正态变量的线性组合仍为正态，且

E (Z) = μ - μ = 0,

Var (Z) = σ^{2} + (- 1)^{2} σ^{2} = 2 σ^{2} .

所以 $Z \sim N (0, 2 σ^{2})$ 。以标准差 $2 σ$ 标准化，并利用 $Φ (- t) = 1 - Φ (t)$ ，得到

P {∣ X - Y ∣ < 1} = Φ (\frac{1}{2 σ}) - Φ (- \frac{1}{2 σ}) = 2Φ (\frac{1}{2 σ}) - 1.

结果不含 $μ$ 。当 $σ > 0$ 增加时， $\frac{1}{( 2 σ )}$ 严格减小，因 $Φ$ 严格递增，该概率严格减小，故确实依赖于 $σ^{2}$ 。选 A。方差中的系数须平方，不能将两个方差相减。