1991 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

曲线

y = (x - 1) (x - 2)

和

x

轴围成一平面图形，求此平面图形绕

y

轴旋转一周所成的旋转体的体积。

答案

$\frac{π}{2}$

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曲线在 $[1, 2]$ 上位于 $x$ 轴下方，柱壳半径为 $x$ ，高度为 $- (x - 1) (x - 2) = (x - 1) (2 - x)$ 。

所以体积为

V = 2 π \int_{1}^{2} x (x - 1) (2 - x) d x = 2 π \cdot \frac{1}{4} = \frac{π}{2} .