2002 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

设某商品需求量

Q

是价格

p

的单调减少函数：

Q = Q (p)

，其需求弹性

η = \frac{2 p ^{2}}{192 - p ^{2}} > 0

。

答案

证明见解析

$\frac{7}{13}$ ；当价格为 6 时，价格上升 1% 会使总收益约上升 $\frac{7}{13} %$ （局部近似），因为需求缺乏弹性。

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总收益为 $R = pQ (p)$ ，所以 $\frac{d R}{d p} = Q + p \frac{d Q}{d p}$ 。

由需求弹性定义 $η = - \frac{p}{Q} \frac{d Q}{d p}$ ，得 $p \frac{d Q}{d p} = - η Q$ 。代入即得 $\frac{d R}{d p} = Q (1 - η)$ 。

$η (6) = \frac{2 \times 6 ^{2}}{192 - 6 ^{2}} = \frac{6}{13}$ 。

由 $R = pQ$ 及上一问， $ε_{R, p} = \frac{p}{R} \frac{d R}{d p} = 1 - η = \frac{7}{13}$ 。

因此在 $p = 6$ 附近，价格每上升 1%，总收益约上升 $\frac{7}{13}$ %；同时 $η < 1$ 表明需求缺乏弹性。