2011 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

记 $f_{i}, f_{ij}$ 为 $f$ 对其第一、第二变量的一阶和二阶偏导。令 $w = f (x, y)$ 、 $U = x + y$ ，则 $z = f (U, w)$ 。在 $(x, y) = (1, 1)$ 处，内层取值点为 $(1, 1)$ ，外层取值点为 $(U, w) = (2, 2)$ ，两者不能混淆。
由 $(1, 1)$ 是可微函数 $f$ 的内点极值点，得 $f_{1} (1, 1) = f_{2} (1, 1) = 0$ 。
（1）先关于 $x$ 求导： $z_{x} = f_{1} (U, w) + f_{2} (U, w) w_{x}$ ，其中 $w_{x} = f_{1} (x, y)$ 。
（2）再关于 $y$ 求导，利用 $U_{y} = 1$ 、 $w_{y} = f_{2} (x, y)$ ，得到

\frac{\partial z _{x}}{\partial y} = f_{11} (U, w) + f_{12} (U, w) w_{y} + [f_{21} (U, w) + f_{22} (U, w) w_{y}] w_{x} + f_{2} (U, w) w_{x y} .

最后一项来自对内层 $w_{x}$ 求导，不能遗漏。
（3）代入 $(x, y) = (1, 1)$ 。此时 $w_{x} = w_{y} = 0$ ，但 $w_{x y} = f_{12} (1, 1)$ 未必为零，故

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}_{(1, 1)} = f_{11} (2, 2) + f_{2} (2, 2) f_{12} (1, 1) .

由于相关函数具有二阶连续偏导，两种混合求导次序相同。极值条件只保证内层的一阶偏导为零，不保证内层混合二阶偏导或外层在 $(2, 2)$ 的一阶偏导为零。

答案