2005 · 数学三 · 第 22 题 · 解答题

设二维随机变量

(X, Y)

的概率密度为

f (x, y) = {1, 0, 0 < x < 1, 0 < y < 2 x, 其他 .

，求：

答案

$f_{X} (x) = {2 x, 0, 0 < x < 1, 其他$ ； $f_{Y} (y) = {1 - \frac{y}{2}, 0, 0 < y < 2, 其他$

$f_{Z} (z) = {1 - \frac{z}{2}, 0, 0 < z < 2, 其他$

$\frac{3}{4}$

联合密度非零区域为 $0 < x < 1, 0 < y < 2 x$ ，故

f_{X} (x) = \int_{0}^{2 x} 1 d y = 2 x, 0 < x < 1.

对给定 $y$ ，需有 $\frac{y}{2} < x < 1$ ，且 $0 < y < 2$ ，所以

f_{Y} (y) = \int_{\frac{y}{2}}^{1} 1 d x = 1 - \frac{y}{2}, 0 < y < 2.

区间外两者均为 $0$ 。

令 $z = 2 x - y$ ，取 $(x, z)$ 为变量，则 $y = 2 x - z$ ，且 $\frac{\partial ( x , y )}{\partial ( x , z )} = 1$ 。原区域变为 $0 < z < 2$ 、 $\frac{z}{2} < x < 1$ 。

因此

f_{Z} (z) = \int_{\frac{z}{2}}^{1} 1 d x = 1 - \frac{z}{2}, 0 < z < 2,

区间外 $f_{Z} (z) = 0$ 。

利用第一问求得的边缘密度，分母为

P (X \leq \frac{1}{2}) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} 2 x d x = \frac{1}{4} .

分子对应的区域需按 $2 x = \frac{1}{2}$ 分段：

P (Y \leq \frac{1}{2}, X \leq \frac{1}{2}) = \int_{0}^{\frac{1}{4}} 2 x d x + \int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} d x = \frac{3}{16} .

所以

P (Y \leq \frac{1}{2} ∣ X \leq \frac{1}{2}) = \frac{\frac{3}{16}}{\frac{1}{4}} = \frac{3}{4} .