因为 $(-x)\sin (-x)=x\sin x$，且 $\cos (-x)=\cos x$，所以

因此 $f$ 是偶函数，选 D。

同时，取 $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 可见函数值随 $k$ 增大而无界，故不是有界函数；又因 $f$ 在全实轴上连续，而连续的周期函数必有界，所以它不是周期函数，且非恒定偶函数不可能在全实轴上单调。