设 $u(x)=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{\mathrm{e}}^{kx}$。因 $u(x)>0$，幂函数 $u(x{)}^{\frac{1}{x}}$ 的对数为 $\frac{\ln u(x)}{x}$。先求该对数函数的极限；这里 $u(0)=1$。

由洛必达法则，

指数函数连续，故原极限为 ${\mathrm{e}}^{\frac{(n+1)}{2}}$。