1997 · 数学三 · 第 19 题 · 解答题

假设随机变量

X

的绝对值不大于

1

；

P {X = - 1} = \frac{1}{8}, P {X = 1} = \frac{1}{4}

；在事件

{- 1 < X < 1}

出现的条件下，

X

在

(- 1, 1)

内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比。

(1) 求 $X$ 的分布函数 $F (x) = P {X \leq x}$ ；
(2) 求 $X$ 取负值的概率 $p$ 。

答案

第 1 问

$F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{5 x + 7}{16}, 1, x < - 1, - 1 \leq x < 1, x \geq 1$

第 2 问

$p = \frac{7}{16}$

解析

第 1 问

事件 $- 1 < X < 1$ 的概率为 $1 - \frac{1}{8} - \frac{1}{4} = \frac{5}{8}$ 。条件分布在长度为 $2$ 的区间 $(- 1, 1)$ 上均匀，故无条件密度在该区间内为 $\frac{( \frac{5}{8} )}{2} = \frac{5}{16}$ 。

因此 $x < - 1$ 时 $F (x) = 0$ ；当 $- 1 \leq x < 1$ 时，

F (x) = \frac{1}{8} + \int_{- 1}^{x} \frac{5}{16} d t = \frac{5 x + 7}{16};

在 $x = 1$ 处再加入质量 $\frac{1}{4}$ ，故 $x \geq 1$ 时 $F (x) = 1$ 。

第 2 问

由第一问的点概率和连续部分密度，负值包括点 $- 1$ 以及连续部分中的区间 $(- 1, 0)$ ，所以

p = P {X < 0} = \frac{1}{8} + \int_{- 1}^{0} \frac{5}{16} d x = \frac{7}{16} .